SUKU BANYAK

A.     Teorema Sisa

1)      F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)

2)      F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F(b/a)

3)      F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S₂ + S₁, dengan S₂ adalah sisa pembagian pada tahap ke–2

Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B.     Teorema Faktor

(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0

C.     Akar Rasional Persamaan Suku Banyak

Bentuk umum : axⁿ + bx^{n –1}  + cx^{n –2}  + … + d = 0. Akar–akarnya adalah x₁, x₂, …, x_n. 

1)      x₁ + x₂ + …+ x_n = -b/a

2)      x₁ · x₂ · …· x_n = d/a(bila berderajat genap)

3)      x₁ · x₂ · …· x_n = -d/a(bila berderajat ganjil)

4)      x₁ · x₂ + x₁ · x₃ + x₂ · x₃ + … = c/a

D.    Cara Horner/bangun/skema/sintetik

Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika akan ditentukan nilai suku banyak x = k, maka:f(x) = ax3 + bx2 + cx + df(x) = (ax2 + bx + c)x + df(x) = ((ax + b)x + c)x + dSehingga f(k) = ((ak + b)k + c)k + d.Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut ini.

Agar lebih memahami tentang cara Horner, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
1. f(x) = x3 + 2×2 + 3x – 4 untuk x = 5
2. f(x) = 2×3 – 3×2 + 9x + 12 untuk x = ½

Penyelesaian :

Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = ½ adalah 16.

INGAT !!!
• Masing-masing koefisien x disusun dari pangkat terbesar sampai terkecil
(perpangkatan x yang tidak ada, ditulis 0).
• Tanda panah pada skema berarti mengalikan dengan k, kemudian dijumlahkan dengan koefisien yang berada di atasnya.

Contoh Soal :

Soal No. 1
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x³ + 2x − 10.
Dengan cara substitusi, tentukan nilai dari F(2)

Pembahasan
Masukkan nilai x = 2 untuk F(x).

F(x) = 3x³ + 2x − 10
F(2) = 3(2)³ + 2(2) − 10
F(2) = 24 + 4 − 10 = 18

Soal No. 2
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x³ + 2x − 10.
Dengan cara Horner, tentukan nilai dari F(2), cocokkan dengan jawaban nomor soal nomor 1 di atas!

Pembahasan
Cara Horner:

Bikin layoutnya dulu seperti di bawah ini, perhatikan asalnya angka 3, 0, 2 dan - 10 nya.

Ket:

Setelah 3 turun ke bawah, kemudian di kali 2, hasilnya 6. Jumlahkan dengan angka di atasnya, hasilnya kemudian kalikan 2 lagi dst. Hasil akhirnya F(2) = 18, cocok dengan jawaban hasil nomor 1.

Soal No. 3
Diketahui bahwa (x − 1) adalah faktor dari persamaan x³ − 2x² − 5x + 6 = 0.

Tentukan faktor-faktor yang lain!

Pembahasan
x − 1 merupakan faktor dari x³ − 2x² − 5x + 6 = 0, sehingga x = 1 adalah akar dari persamaan tersebut.

Untuk mencari faktor lain gunakan horner seperti berikut:

Pemfaktoran dengan horner untuk nilai x = 1

Diperoleh bahwa
koefisien x² adalah 1
koefisien x adalah −1
dan 6

Sehingga faktor yang didapat adalah
1x² − 1x − 6 = 0
x² − x − 6 = 0

Faktorkan lagi, lebih mudah karena x dalam pangkat dua, diperoleh
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0

Jadi selain (x − 1) , faktor-faktor dari x³ − 2x² − 5x + 6 = 0 adalah (x + 2) dan (x − 3)

Soal No. 4
Diketahui x = 1 adalah akar dari persamaan suku banyak 2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0. Tentukan akar-akar yang lain dari persamaan di atas!

Pembahasan
2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0

2x² − 7x + 6 = (2x − 3)(x − 2)
2x − 3 = 0
x = 3/2

x − 2 = 0
x = 2

Jadi akar-akar yang lain adalah 3/2 dan 2

Soal No. 5
Diketahui;

2x³ − 9x² + 13x − 6 = 0

Jika x₁, x₂ dan x₃ adalah akar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar

Pembahasan
Ax³ + Bx² + Cx + D = 0

maka berlaku

a) x₁ ⋅x₂ ⋅ x₃ = − D/A = − (−6)/2 = 6/2 = 3

b) x₁ + x₂ + x₃ = − B/A
= − (−9)/2 = 9/2

Soal No. 6
Diketahui;

2x⁴ + 5x³ − 11x² − 20x + 12 = 0

Jika x₁, x₂ , x₃ dan x₄ adalahakar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar

Pembahasan
Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Dx + E = 0

maka berlaku

a) x₁ ⋅x₂ ⋅ x₃ ⋅ x₄ = E/A =  (12)/2 = 6

b) x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = − B/A
=  −(5)/2 =− 5/2

Soal No. 7
Salah satu faktor suku banyak P(x) = x⁴ −15x² −10x + n adalah (x + 2) . Faktor lainnya adalah...
A. x − 4
B. x + 4
C. x + 6
D. x − 6
E. x − 8
(UN 2008)

Pembahasan
Tentukan lebih dulu nilai n dari suku banyak di soal. Jika x + 2 adalah faktor, maka x = − 2 jika dimasukkan persamaan di atas akan menghasilkan P(x) = 0.

P(x) = x⁴ −15x² −10x + n

0 = (−2)⁴ −15(−2)² −10(−2) + n

n = 24

Sehingga P(x) secara lengkap adalah

P(x) = x⁴ −15x² −10x + 24

Uji pilihan hingga mendapatkan nilai P(x) sama dengan nol seperti ini

A.  x − 4 → x = 4 → P(x) = (4)⁴ −15(4)² −10(4) + 24 = 0
B.  x + 4 → x = − 4 → P(x) = (−4)⁴ −15(−4)² −10(−4) + 24 = 80
C.  x + 6 → x = − 6 → P(x) = (−6)⁴ −15(−6)² −10(−6) + 24 = 840
dan seterusnya

Terlihat yang menghasilkan P(x) = 0 adalah untuk x = 4, sehingga faktor lainnya adalah (x − 4).

Dicoba:
Soal No. 8
Suku banyak P(x) = x³ + ax² - 13x + 10 mempunyai faktor linear (x - 2). Faktor linear yang lain adalah…
A. (x - 5)
B. (x + 1)
C. (x + 2)
D. (x - 1)
E. (x - 4)

Soal No. 9
Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah....
A. 8x + 8
B. 8x − 8
C. −8x + 8
D. −8x − 8
E. −8x + 6
(UN 2007)

Pembahasan
Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b
Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya:
x – 2 = 0
x = 2

S(x) = ax + b
24 = 2a + b ..........(Persamaan 1)

Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya:
2x – 3 = 0
x = ³/₂

S(x) = ax + b
20 = ³/₂ a + b ..........(Persamaan 2)

Gabungkan persamaan 1 dan 2
24 = 2a    +  b
20 = ³/₂ a +  b
______________ −
4 = ¹/₂ a
a = 8

24 = 2a + b
24 = 2(8) + b
24 = 16 + b
b = 8

S(x) = 8x + 8

Soal No. 10
Diketahui suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ − 3x² + 5x + b. . Jika P(x) dibagi (x − 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a+ b) =...
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
(UN 2011)

Pembahasan
Untuk (x − 1)
x = 1 → P(x) = 11
2(1)⁴ + a(1)³ − 3(1)² + 5(1) + b = 11
2 + a − 3 + 5 + b = 11
a + b = 7 .............(Persamaan 1)

Untuk (x + 1)
x = − 1 → P(x) = − 1
2(−1)⁴ + a(−1)³ − 3(−1)² + 5(1) + b = −1
2 − a − 3 − 5 + b = − 1
− a + b = 5 ..........(Persamaan 2)

Dari Persamaan 1 dan 2
a + b = 7
− a + b= 5
__________ +
2b = 12
b = 12/2 = 6

a + b = 7
a + 6 = 7
a = 1

Sehingga
2a + b = 2(1) + 6 = 8

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/98-suku-banyak-dan-teorema-sisa#ixzz4FWm7Lbi8